Bár elsőre bonyolultnak tűnhet a téma, hasonló testek térfogatáról beszélni valójában sokkal egyszerűbb, mint gondolnánk. Képzeljünk el két azonos formájú, de eltérő méretű vázát vagy kockát. Vajon hogyan változik a térfogatuk az arányok függvényében? Pontosan erről szól ez a cikk.

A célunk az, hogy érthetően, konkrét példákkal mutassuk be, hogyan kapcsolódik a térfogat a testek méretéhez, ha azok hasonlóak egymáshoz. Vágjunk is bele!

Mielőtt bármibe belevágunk, tisztázzuk a legfontosabbat.

Hasonló testekről akkor beszélünk, ha alakjuk teljesen megegyezik, csak a méretük különbözik. Olyan ez, mint amikor egy kis játékautót és egy valódi autót nézünk: a formák ugyanazok, csak minden méret nagyobb vagy kisebb arányban változik.

Minden megfelelő részt ugyanazzal az aránnyal nagyítottak vagy kicsinyítettek.

Ha például egy kocka oldalát megduplázzuk, az új test nemcsak nagyobb lesz, de geometriailag ugyanaz marad – vagyis hasonló.

Amikor két test hasonló, akkor a méretarány a kulcs.

Nézzük meg a következőket:

• Az oldalhosszúságok aránya: ha az egyik test minden mérete kétszer akkora, mint a másiké, akkor az oldalhosszúságok aránya 2:1.
• A felszínek aránya: mivel a felszín két dimenziós, az arány az oldalhosszúság négyzetével változik.
• A térfogat aránya: és itt jön a lényeg – a térfogat a méretarány köbével változik.

Tehát ha az egyik test mérete kétszer akkora, akkor a térfogata 2³ = 8-szor akkora lesz. Ez az egyik legfontosabb szabály, amit meg kell jegyeznünk.

Íme a legfontosabb összefüggés, amit érdemes kiemelni:

Hasonló testek térfogatának aránya = méretarány köbe

Vagyis ha két test hasonló, és az egyik minden irányban k-szor nagyobb, mint a másik, akkor a térfogatuk aránya k³ lesz.

Képlettel:

Ha az oldalhosszúság aránya:
A : B = k : 1,
akkor a térfogatuk aránya:
V₁ : V₂ = k³ : 1

Tegyük fel, van két kockánk. Az egyik oldalhossza 2 cm, a másiké 4 cm.
Mekkora a térfogatuk aránya?

• A méretarány: 4 cm / 2 cm = 2
• A térfogatuk aránya: 2³ = 8

Tehát a nagyobb kocka térfogata nyolcszorosa a kisebbének.

Egy kisebb labda sugara 3 cm, egy nagyobbé 6 cm. Hány százalékkal nagyobb a nagyobb labda térfogata?

• A méretarány: 6 / 3 = 2
• A térfogatarány: 2³ = 8

Vagyis a nagyobb labda térfogata nyolcszor akkora, ami azt jelenti, hogy 700%-kal nagyobb, hiszen az eredeti (100%) + további 700% = 800% az új érték.

Van egy kis virágcserepünk, amely 10 cm magas, és egy nagyobb, 20 cm-es, de az alakjuk ugyanaz. Mekkora a térfogatkülönbség?

• Méretarány: 20 / 10 = 2
• Térfogatarány: 2³ = 8

A nagyobb cserép 8-szor annyi földet tud tárolni, mint a kisebb.

Tegyük fel, az egyik piramis magassága 5 méter, a másiké 10 méter. Alakjuk hasonló. Mi a térfogatuk aránya?

• Méretarány: 10 / 5 = 2
• Térfogatarány: 2³ = 8

A nagyobb piramis térfogata nyolcszor akkora, mint a kisebbé.

Sokan hajlamosak elfelejteni, hogy a térfogat háromdimenziós mennyiség. Ezért nem elég csak megnézni az oldalhosszt vagy a magasságot.

Mindig jusson eszünkbe:

✅ Ha minden méret kétszeres, akkor a térfogat nyolcszoros.
✅ Ha minden méret háromszoros, akkor a térfogat huszonhétszeres.
✅ Ha minden méret feleakkora, akkor a térfogat egynyolcada lesz.

Lehet, hogy nem naponta számolunk hasonló testeket, de mégis sok helyen előjön a térfogat arány:

• Építkezésnél: mennyi beton vagy víz fér el egy tartályban, ha nagyobbat veszünk?
• Konyhában: egy kisebb és nagyobb kuglófformánál mennyi tésztára van szükség?
• Csomagolásnál: egy nagyobb doboz valóban annyival több mindent bír el?

Ha tudjuk, hogyan aránylik a térfogat a méretekhez, pontosabban tudunk tervezni, vásárolni, számolni.

Ahhoz, hogy ne keveredjünk el a számokban, elég pár dolgot jól megjegyeznünk:

• Hasonló testek térfogatának aránya a méretarány köbe.
• Ha valami kétszer akkora, akkor nyolcszor nagyobb térfogata lesz.
• Ha valami háromszor akkora, akkor huszonhétszeres a térfogat.
• Minden irányban arányosan kell nagyítani vagy kicsinyíteni, különben nem hasonlóságról beszélünk.

Tegyük fel, hogy van két hasonló henger. Az egyik sugara 3 cm, a másiké 6 cm.
Mekkora a térfogatuk aránya?

Megoldás:

• Méretarány: 6 / 3 = 2
• Térfogatarány: 2³ = 8

Ugyanaz az eredmény! Nem számít, milyen testtel dolgozunk – ha hasonlóak, a szabály mindig ugyanaz.

Bár eddig csak a térfogatról beszéltünk, érdemes kitérni arra is, hogy a testek tömege (súlya) hogyan változik, ha a méretarány változik – hiszen ez is gyakran előkerül a való életben.

Miért fontos ez?

Mert ha például egy nagyobb virágcserepet, edényt vagy szobrot választunk, nemcsak több fér bele, hanem sokkal nehezebb is lesz.

A tömeg kiszámítása:

Tömeg = Térfogat × Anyag sűrűsége

Ha két test hasonló, és ugyanabból az anyagból készültek, akkor a tömegük aránya is a térfogat arányával egyezik meg. Ez pedig – mint tudjuk – a méretarány köbével változik.

Például:

• Egy kis gipszszobor súlya 2 kg.
• Egy hasonló, de kétszer nagyobb (minden méretben) szobor súlya:
  • Térfogat: 2³ = 8-szor nagyobb
  • Súly: 8 × 2 kg = 16 kg

Ez óriási különbség, ha például szállításról, polctartó teherbírásról vagy gyerekjátékról van szó!

Mire érdemes figyelni?

• Ne csak a méretet nézzük, ha valamit nagyobb változatban akarunk megvenni – nézzük meg a súlyát is!
• Gyerekjátékoknál, edényeknél, dísztárgyaknál különösen fontos lehet, hogy a méretarány ne tévesszen meg minket.
• Csomagolás vagy logisztika esetén a méret növelésével drasztikusan nőhet a súly, így a költség is.

Ahogy láthatjuk, a hasonló testek térfogatának aránya nem bonyolult dolog, csak tudnunk kell, hogy a méretarányt a harmadik hatványra kell emelni. A mindennapi életben is gyakran előkerül, így nemcsak matematikai szempontból hasznos tudás, hanem gyakorlatias, jól használható szemlélet is.

Ha legközelebb azon gondolkodunk, mekkora tál kell a dupla adag leveshez, vagy elfér-e minden az új dobozban, csak gondoljunk vissza erre az egyszerű szabályra:

Térfogat = méretarány köbe.

Reméljük, most már könnyedén boldogulunk vele.

A Wiképidiáról kicsi érdekesség még…

Köszönöm a figyelmet!

Ha tetszett a cikk, ne felejtsd el megosztani barátaiddal vagy hozzászólásban megírni a véleményedet.

És ha szeretnél még hasonló tanácsokat olvasni, akkor iratkozz fel a hírlevelünkre és Likeolj minket a Facebookon!